关键词： 教师资格证

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2 《二次根式的乘法》

试讲

1. 题目：二次根式的乘法

2. 内容：

由算术平方根的意义， 2 ， 3 ， 4 ，…都是实数。当 a 取某个非负数值时， a 就是非负数 a 的算术

平方根，也是一个实数。这类实数的运算满足怎样的运算法则呢？我们该如何进行二次根式的加、减、乘、除运算呢？

下面先探究二次根式的乘法法则。

探究计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

（1） 4 × 9 = ， 4 × 9 = ；

（2） 16 × 25 = ， 16 × 25 = ；

（3） 25 × 36 = ， 25 × 36 = 。

一般地，二次根式的乘法法则是

a· b = ab（a≥0，b≥0）.

例1 计算：

（1） 3 × 5 ；（2） 1

3 × 27 。

解：（1） 3 × 5 = 15 ；

（2） 1

3 × 27 = 13 × 27 = 9 =3。

把 a· b = ab 反过来，就得到 ab = a· b 。

3. 基本要求：

（1）教学要突出法则；

（2）教学要有巡视环节；

（3）时间控制在10分钟以内。

答辩题目

1. 除了直接利用教材中的计算问题进行导入，还有其他更好的导入方法吗？

2. 在二次根式的乘法运算中，要注意什么？

【试讲答案】

各位考官：大家好，我是初中数学组的 01号考生，我试讲的题目是《二次根式的乘法》，下面开始我的

试讲。

一、复习引入

师：前面我们已经学习了二次根式的概念和性质，同学们回忆一下，什么叫二次根式？二次根式有哪些

性质？

师：对，形如 a（a ≥ 0）的式子叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。任何一个正数的平方根有两个，

它们互为相反数；简形式中被开方数不能有分母存在；零的平方根是零。

师：同学们回答得很好，记得很牢固。那么本节课开始我们要学习二次根式的乘法了。

二、探究新知

师：请大家用二次根式的性质计算下列各式，观察计算结果，有什么规律吗？

（1） 4 × 9 = ， 4 × 9 = ；

（2） 16 × 25 = ， 16 × 25 = ；

（3） 1

36 × 4 = ， 316 × 4 = 。

师：学生 1说每对算式的计算结果两两相等，学生 2说每对算式中，前一个式子中的两个根式相乘等于

两个被开方数相乘再开平方。

师：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数

不变。

师：你能用字母表示你发现的规律吗？

师：学生3说 a∙ b = ab ，a≥0，b≥0。

师：对，这就是二次根式的乘法法则。那把式子倒过来成立吗？

师：对，成立，它们的结果是一样的。

师： a∙ b = ab ，a≥0，b≥0其实是二次根式的性质 ab = a∙ b ，a≥0，b≥0的逆运算。

师：要是去掉a≥0，b≥0这一条件，二次根式的乘法法则还成立吗？

师：不成立，因为如果a<0，b<0时， a , b 是没有意义的。

师：对，须要a≥0，b≥0， a∙ b = ab 才成立。

三、巩固练习、深化新知

师：请写出下面算式的结果，一会儿老师检查。① 3 × 5 ，② 1

3 × 27 分别等于什么。

师： 3 × 5 = 15 ，这个大家都写对了，第二个式子有同学写的是 1

3 × 27 = 9 ， 9 这个数是不是能

继续开平方啊？

师：学生 4说 9 = 3 。对于根式运算的后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二

次根式的性质将其移出根号外。那么在运算过程中我们是不是也要这样做呢？

师：你能化简 20 , 12a2b2 这两个式子吗？小组一块讨论看能不能解决吧！

师： 20 = 4 × 5 = 4∙ 5 = 2 5 , 12a2b2 = 12∙ a2b2 = 4 × 3·|ab| = 2 3|ab| 。

四、归纳小结

师：你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？你能说明乘法法则逆用的意义吗？一般对后结

果有何要求？

师：对，是通过归纳类比得到的，乘法法则倒过来就是二次根式的性质，结果要化到简，能开平方的要

开平方。

五、布置作业

师：回去想想 a∙ b∙ c∙⋯∙ k 等于什么，m a∙n b 等于什么吧！

师：好，下课，同学们再见！

六、板书设计

二次根式的乘法

法则： a∙ b = ab ，a≥0，b≥0

性质： ab = a∙ b ，a≥0，b≥0

我的试讲到此结束，谢谢各位考官的聆听。

【答辩答案】

1. 我们知道长方形的面积等于长×宽，如果已知一个长方形的长为 3 2 、宽为 2 5 ，你能计算出它的面

积吗？相信大家都知道这个长方形的面积等于 3 2 × 2 5 ，你能计算出这个结果吗？今天我们就来学习二

次根式的乘法。

2. 二次根式相乘的结果，应尽量化简成简二次根式；几个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘，但不要急于计算出乘积的结果，而应将被开方数进一步分解因数，以便把能开得尽的因数移到根号外，简便运算。

2 高中数学试题

1 《函数零点的判定定理》

试讲

1. 题目：函数零点的判定定理

2. 内容：

探究

观察二次函数 f（x） = x2 - 2x - 3 的 图 象（如 图 3.1- 2），我 们 发 现 函 数

f（x） = x2 - 2x - 3 在区间[-2，1]上有零点，计算 f（ - 2）与 f（1）的乘积，你能发

现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？

可以发现，f（ - 2）·f（1）＜0 ，函数 f（x） = x2 - 2x - 3 在区间（-2，1）内有零

点 x = -1 ，它是方程 x2 - 2x - 3 = 0 的一个根，同样的，f（2）·f（4）＜0 ，函数

f（x） = x2 - 2x - 3 在（2，4）内有零点 x = 3 ，它是方程 x2 - 2x - 3 = 0 的另一个根。

同学们可以任意画几个函数图象，观察图象。看看是否能得出同样的结果。

一般地，我们有：

如果函数 y = f（x）在区间 [a，b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）·f（b）＜0 ，那么，

函数 y = f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c ∈ （a，b），使得 f（c） = 0 ，这个 c 也就是方程 f（x） = 0

的根。

例1 求函数 f（x） = ln x + 2x - 6 的零点的个数。

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3. 基本要求：

（1）要有板书；

（2）试讲10分钟左右；

（3）条理清晰，重点突出；

（4）学生能够利用定理判断函数的零点个数。

答辩题目

1. 函数零点判定定理与二分法求零点之间有什么关系?

2. 如果一个连续函数在定义域内是单调函数，那么函数的零点的个数可以确定吗?

【试讲答案】

各位考官：大家好，我是高中数学组的 01号考生，我试讲的题目是《函数零点的判定定理》，下面开始我

的试讲。

一、情境导入

师：请同学们观察屏幕上的图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图，由于图象中

有一段被墨水污染了，现在有人想了解当天 7时到 11时之间是否出现 0℃，你能帮助他吗？你能看出是否有

0℃吗？

师：学生1说有0℃。

师：你是根据什么判断它有的呢？

师：学生 1说凭感觉，学生 2说因为 7时的时候是-4℃，11时的时候是一个正数，从一个负数到一个正数，

中间定会经过零。

师：在数学中直觉也是非常重要的，估计大多数同学心里都会想到有，但是不知道怎样表达，学生 2说出

来了。

师：因为这个函数图象是连续不断的，那么既然 7时的温度是负的，11时的温度是正的，那么函数图象

然有零点。今天我们就来学习函数零点的判定方法。

二、探索新知

师：如果一个函数（f x）在 x轴上下分别有 A（a，c），B（b，d）两点，且（f x）在[a，b]上的图象是连续不断的一

条曲线时你能判断出在[a，b]上的函数图象与x轴有交点吗？

师：学生3说（f x）在[a，b]端点处函数值异号，它的图象与x轴有交点，（f x）有零点。

师：如果去掉“（f x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线”这一条件，得到的结论还成立吗？

师：对，不能，可能函数（f x）就与x轴没有交点了。

师：如果函数（f x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且（f a）·（f b）<0，那么函数（f x）在（a，b）内有零

点，即存在c∈（a，b），使得（f c）=0，这个c就是方程（f x）=0的根，这一定理我们称为零点存在定理。

师：请大家观察二次函数（f x）=x2-2x-3的图象，计算（f -2）与（f 1），你能发现什么？

师：有同学说观察图象知道（f x）的图象在（-2，1）内与x轴有交点，计算可知（f -2）·（f 1）<0，是满足零点存

115

在定理的。

师：那么函数图象与 x轴的交点一定在（-2，1）内吗？

师：学生4说不一定，（f x）的图象在（2，4）内与 x轴也有交点。

师：所以由（f a）·（f b）<0我们可以得到（f x）在（a，b）内有零点，但是（f x）的零点并不唯一，在解题时需要

一一求出。

师：若（f a）·（f b）>0，函数在区间上一定没有零点吗？

师：学生5说不一定，像函数（f x）=x2-2x-3，（f -2）·（f 4）>0，但是函数在（-2，4）内有两个零点。

师：零点存在定理是零点存在的要条件，但并不是充分条件。

师：若（f a）·（f b）<0，添加什么条件可以知道（f x）在（a，b）内只有一个零点？

师：学生6说添加单调。（f x）在（a，b）内单调，且（f a）·（f b）<0，则（f x）在（a，b）内只有一个零点。

三、巩固练习

师：根据上面我们学习的知识求函数（f x）=lnx+2x-6的零点个数。你可以想到什么方法来判断函数零

点？你是如何来确定零点所在的区间的？零点是唯一的吗？

师：有学生说代入一些数值，判断（f x）的正负，可以知道（f 2）<0，（f 3）>0，则（f 2）·（f 3）<0，这说明函数在区

间（2，3）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个的。

四、小结作业

师：请回顾本节课所学的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？

师：学生7说主要学习了函数零点的判定方法，用到了转化的数学思想。

师：思考一下函数 y=2x-3的零点所在的大致区间。

师：好，下课，同学们再见！

五、板书设计

函数零点的判定定理

零点的存在定理

零点的个数

我的试讲到此结束，谢谢各位考官的聆听！

【答辩答案】

1. 通过不断地把连续函数（f x）的零点所在的区间一分为二，使区间的端点逐步逼近零点，进而得到零点

近似值的方法叫做二分法。由此可见，函数零点判定定理是二分法求零点的理论依据和前提。

2. 定义域内的连续单调的函数，可能不存在零点，也可能存在一个零点。例如，y=2x+2在定义域内单调

递增，但是函数值恒为正，不存在零点；又如，y=x在定义域内单调递增，由正比例函数的图象可知，函数只有

一个零点。因此，在定义域内连续单调的函数，多只有一个零点。

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